Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27 x$ rispetto a $x$ è $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $27$ per $1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $3 x^{2} - 20 x + 27$ e $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 20 x + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $6 x - 20$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 20$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27 x$ rispetto a $x$ è $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $27$ per $1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 20 x + 27$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 20 x + 27$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 20 x + 27$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

Passaggio 5.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.3

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 20$ e $c = 27$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 27)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Eleva $- 20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.1.3

Sottrai $324$ da $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.1.4

Riscrivi $76$ come $2^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $76$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Eleva $- 20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.5.1.3

Sottrai $324$ da $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.5.1.4

Riscrivi $76$ come $2^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $76$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 5.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 5.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Eleva $- 20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.3

Sottrai $324$ da $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.4

Riscrivi $76$ come $2^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $76$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 5.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 5.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 20$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

Passaggio 9.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

Passaggio 9.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (10 + \sqrt{19}) - 20$

Passaggio 9.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 10 + 2 \sqrt{19} - 20$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$20 + 2 \sqrt{19} - 20$

Passaggio 9.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $20$ da $20$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Passaggio 10

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.3

Usa il teorema binomiale.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.3

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.3.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.4

Moltiplica $30$ per $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.5

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{3}$ come $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.6

Eleva $19$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.7

Riscrivi $6859$ come $19^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.7.1

Scomponi $361$ da $6859$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.7.2

Riscrivi $361$ come $19^{2}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.4.8

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.5

Somma $1000$ e $570$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.8

Riscrivi ${(10 + \sqrt{19})}^{2}$ come $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.9

Espandi $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.10.1.1

Moltiplica $10$ per $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.10.1.2

Sposta $10$ alla sinistra di $\sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.10.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.10.1.4

Moltiplica $19$ per $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.10.1.5

Riscrivi $361$ come $19^{2}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.10.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.10.2

Somma $100$ e $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.10.3

Somma $10 \sqrt{19}$ e $10 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.11

$- 10$ e $\frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.13

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.13.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 11.2.1.13.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3})) - 18$

Passaggio 11.2.1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 + \sqrt{19}) - 18$

Passaggio 11.2.1.14

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.1.15

Moltiplica $9$ per $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $27$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.5.2

Moltiplica $- 10$ per $119$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.5.3

Moltiplica $20$ per $- 10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.5.5

Moltiplica $- 1190$ per $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.5.6

Moltiplica $3$ per $- 200$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.5.7

Sottrai $3570$ da $1570$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 19 \sqrt{19} - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.5.8

Sottrai $600 \sqrt{19}$ da $19 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.6

Per scrivere $90$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.7

$90$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.8.2

Moltiplica $90$ per $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 2430}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.8.3

Somma $- 2000$ e $2430$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 11.2.9

Per scrivere $9 \sqrt{19}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Passaggio 11.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.10.1

$9 \sqrt{19}$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Passaggio 11.2.10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Passaggio 11.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.11.1

Moltiplica $27$ per $9$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

Passaggio 11.2.11.2

Somma $- 581 \sqrt{19}$ e $243 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

Passaggio 11.2.12

Per scrivere $- 18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 11.2.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.13.1

$- 18$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Passaggio 11.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

Passaggio 11.2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.14.1

Moltiplica $- 18$ per $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

Passaggio 11.2.14.2

Sottrai $486$ da $430$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 11.2.15

La risposta finale è $\frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 20$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

Passaggio 13.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

Passaggio 13.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (10 - \sqrt{19}) - 20$

Passaggio 13.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 10 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$20 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$20 - 2 \sqrt{19} - 20$

Passaggio 13.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $20$ da $20$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $2 \sqrt{19}$ da $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Passaggio 14

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.3

Usa il teorema binomiale.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.4

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.6

Moltiplica ${\sqrt{19}}^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.7

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 15.2.1.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.7.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.8

Moltiplica $30$ per $19$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.9

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.11

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{3}$ come $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.12

Eleva $19$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.13

Riscrivi $6859$ come $19^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.13.1

Scomponi $361$ da $6859$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.13.2

Riscrivi $361$ come $19^{2}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.14

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - (19 \sqrt{19})}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.4.15

Moltiplica $19$ per $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.5

Somma $1000$ e $570$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.8

Riscrivi ${(10 - \sqrt{19})}^{2}$ come $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.9

Espandi $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.1.1

Moltiplica $10$ per $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.3

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.4

Moltiplica $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{19}$ per $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.4.3

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 15.2.1.10.1.4.4

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 15.2.1.10.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.5

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.2

Somma $100$ e $19$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.10.3

Sottrai $10 \sqrt{19}$ da $- 10 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.11

$- 10$ e $\frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.13

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.13.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Passaggio 15.2.1.13.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3})) - 18$

Passaggio 15.2.1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 - \sqrt{19}) - 18$

Passaggio 15.2.1.14

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

Passaggio 15.2.1.15

Moltiplica $9$ per $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

Passaggio 15.2.1.16

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $- \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $27$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.5.2

Moltiplica $- 10$ per $119$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.5.3

Moltiplica $- 20$ per $- 10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 + 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.5.5

Moltiplica $- 1190$ per $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.5.6

Moltiplica $3$ per $200$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.5.7

Sottrai $3570$ da $1570$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 19 \sqrt{19} + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.5.8

Somma $- 19 \sqrt{19}$ e $600 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.6

Per scrivere $90$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.7

$90$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.8.2

Moltiplica $90$ per $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 2430}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.8.3

Somma $- 2000$ e $2430$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Passaggio 15.2.9

Per scrivere $- 9 \sqrt{19}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Passaggio 15.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.10.1

$- 9 \sqrt{19}$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Passaggio 15.2.10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Passaggio 15.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.11.1

Moltiplica $27$ per $- 9$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

Passaggio 15.2.11.2

Sottrai $243 \sqrt{19}$ da $581 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

Passaggio 15.2.12

Per scrivere $- 18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 15.2.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.13.1

$- 18$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.14.1

Moltiplica $- 18$ per $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

Passaggio 15.2.14.2

Sottrai $486$ da $430$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 15.2.15

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.15.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 15.2.15.2

Riscrivi $- 56$ come $- 1 (56)$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 \cdot 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 15.2.15.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 (56)$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) + 338 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 15.2.15.4

Scomponi $- 1$ da $338 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 15.2.15.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 15.2.15.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.15.6.1

Riscrivi $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ come $- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 15.2.15.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 15.2.16

La risposta finale è $- \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ .

$(\frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ è un minimo locale

$(\frac{10 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ è un massimo locale

Passaggio 17