Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x - (3 x^{2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 x - 3 x^{2}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} + 6 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x - (3 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 x - 3 x^{2}$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 6 x$ .

$- 3 x^{2} + 6 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{2} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 6 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $- 3 x$ da $6 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x (x) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x - 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 0 + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 6$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $6$ .

$6$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - {(0)}^{3}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{3}$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 2 + 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$- 12 + 6$

Passaggio 13.2

Somma $- 12$ e $6$ .

$- 6$

Passaggio 14

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - {(2)}^{3}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 3 \cdot 4 - {(2)}^{3}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (2) = 12 - {(2)}^{3}$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 12 - 1 \cdot 8$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (2) = 12 - 8$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $8$ da $12$ .

$f (2) = 4$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(2, 4)$ è un massimo locale

Passaggio 17