Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 3 x - 4$ ; between $2$ and $4$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $3 x^{2} - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 3$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $3$ per $3$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{3} - 3 x - 4$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{3} - 3 \cdot 1 - 4$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 3 \cdot 1 - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 - 4$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 1.4.1.2.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 - 4$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Sottrai $4$ da $- 2$ .

$- 6$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 1 + 3 - 4$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$2 - 4$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$- 2$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, - 6), (- 1, - 2)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 3.1

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{3} - 3 \cdot 2 - 4$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 3 \cdot 2 - 4$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$8 - 6 - 4$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Sottrai $6$ da $8$ .

$2 - 4$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$- 2$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

${(4)}^{3} - 3 \cdot 4 - 4$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 3 \cdot 4 - 4$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$64 - 12 - 4$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Sottrai $12$ da $64$ .

$52 - 4$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sottrai $4$ da $52$ .

$48$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(2, - 2), (4, 48)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(4, 48)$

Minimo assoluto: $(2, - 2)$

Passaggio 5