Calcolo Esempi

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t - 8$ .

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 8$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.2

Sottrai $t^{2}$ da $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Scomponi $t$ da $t^{2} - 16 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.4.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4.2

Scomponi $t$ da $- 16 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t + t \cdot - 16$ .

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$t (t - 16) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$t = 0$

$t - 16 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Imposta $t$ uguale a $0$ .

$t = 0$

Passaggio 1.2.3.3

Imposta $t - 16$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Imposta $t - 16$ uguale a $0$ .

$t - 16 = 0$

Passaggio 1.2.3.3.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 16$

Passaggio 1.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $t (t - 16) = 0$ vera.

$t = 0, 16$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poni $t - 8$ uguale a $0$ .

$t - 8 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 8$

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{t^{2}}{t - 8}$ per ciascun valore di $t$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 - 8}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $8$ da $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Dividi $0$ per $- 8$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $t = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $16$ a $t$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $8$ da $16$ .

$\frac{256}{8}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Dividi $256$ per $8$ .

$32$

Passaggio 1.4.3

Calcola per $t = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci $8$ a $t$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

Passaggio 1.4.3.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (16, 32)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $t = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $- 2$ a $t$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{- 2 - 8}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Sottrai $8$ da $- 2$ .

$\frac{4}{- 10}$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (2)}{- 10}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Passaggio 3.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Passaggio 3.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{- 5}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{5}$

Passaggio 3.2

Calcola per $t = - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $- \frac{1}{4}$ a $t$ .

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Passaggio 3.2.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Passaggio 3.2.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Passaggio 3.2.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

Passaggio 3.2.2.1.6

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Per scrivere $- 8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 3.2.2.2.2

$- 8$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.2.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.2.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.4.1

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

Passaggio 3.2.2.2.4.2

Sottrai $32$ da $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

Passaggio 3.2.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

Passaggio 3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{33}$ nel numeratore.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

Passaggio 3.2.2.4.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

Passaggio 3.2.2.4.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Passaggio 3.2.2.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Passaggio 3.2.2.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{- 1}{33}$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

Passaggio 3.2.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.6.1

Moltiplica $4$ per $33$ .

$\frac{- 1}{132}$

Passaggio 3.2.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{132}$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (t)$ trovati per ciascun valore di $t$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (t)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (t)$ più basso.

Massimo assoluto: $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Minimo assoluto: $(- 2, - \frac{2}{5})$

Passaggio 5