Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ on $- 3$ , $3$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 1$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{x}{x^{2} + 1}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{1 + 1}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 1}{1 + 1}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, \frac{1}{2}), (- 1, - \frac{1}{2})$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 3$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$\frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 1}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 3}{9 + 1}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{- 3}{10}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{10}$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 3$ .

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} + 1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3}{9 + 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{3}{10}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 3, - \frac{3}{10}), (3, \frac{3}{10})$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, \frac{1}{2})$

Minimo assoluto: $(- 1, - \frac{1}{2})$

Passaggio 4