Calcolo Esempi

$f (x) = 5 \sin^{2} (x)$ on $[0, π]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$5 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$10 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.1.1.5

Riordina i fattori di $10 \sin (x) \cos (x)$ .

$f' (x) = 10 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 \cos (x) \sin (x)$ .

$10 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 \cos (x) \sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.4

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 1.2.4.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 1.2.4.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.4.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $10 \cos (x) \sin (x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.6

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $5 \sin^{2} (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$5 \sin^{2} (0)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$5 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 \cdot 0$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $\frac{π}{2}$ a $x$ .

$5 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$5 \cdot 1^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 \cdot 1$

Passaggio 1.4.2.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 5)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(\frac{π}{2}, 5)$

Passaggio 3

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 3.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Passaggio 3.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $10 \cos (x) \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 10 \cos (- 2) \sin (- 2)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Calcola $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 10 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $10$ per $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 4.16146836 \sin (- 2)$

Passaggio 3.2.2.3

Calcola $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 4.16146836 \cdot - 0.90929742$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $- 4.16146836$ per $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 3.78401247$

Passaggio 3.2.2.5

La risposta finale è $3.78401247$ .

$3.78401247$

Passaggio 3.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, \frac{π}{2})$ nella derivata prima $10 \cos (x) \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 10 \cos (1) \sin (1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Calcola $\cos (1)$ .

$f' (1) = 10 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $10$ per $0.5403023$ .

$f' (1) = 5.40302305 \sin (1)$

Passaggio 3.3.2.3

Calcola $\sin (1)$ .

$f' (1) = 5.40302305 \cdot 0.84147098$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $5.40302305$ per $0.84147098$ .

$f' (1) = 4.54648713$

Passaggio 3.3.2.5

La risposta finale è $4.54648713$ .

$4.54648713$

Passaggio 3.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(\frac{π}{2}, π)$ nella derivata prima $10 \cos (x) \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 10 \cos (2) \sin (2)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Calcola $\cos (2)$ .

$f' (2) = 10 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $10$ per $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 4.16146836 \sin (2)$

Passaggio 3.4.2.3

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 4.16146836 \cdot 0.90929742$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica $- 4.16146836$ per $0.90929742$ .

$f' (2) = - 3.78401247$

Passaggio 3.4.2.5

La risposta finale è $- 3.78401247$ .

$- 3.78401247$

Passaggio 3.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(π, \infty)$ nella derivata prima $10 \cos (x) \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = 10 \cos (6) \sin (6)$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Calcola $\cos (6)$ .

$f' (6) = 10 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $10$ per $0.96017028$ .

$f' (6) = 9.60170286 \sin (6)$

Passaggio 3.5.2.3

Calcola $\sin (6)$ .

$f' (6) = 9.60170286 \cdot - 0.27941549$

Passaggio 3.5.2.4

Moltiplica $9.60170286$ per $- 0.27941549$ .

$f' (6) = - 2.68286459$

Passaggio 3.5.2.5

La risposta finale è $- 2.68286459$ .

$- 2.68286459$

Passaggio 3.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 3.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{π}{2}$ , allora $x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 3.8

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = π$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 3.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 \sin^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(\frac{π}{2}, 5)$

Nessun minimo assoluto

Passaggio 5