Calcolo Esempi

$F (θ) = \sin (θ + \frac{π}{2})$ , $0 \leq θ \leq \frac{7 π}{4}$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = θ + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $θ + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $θ + \frac{π}{2}$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $θ + \frac{π}{2}$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $\frac{π}{2}$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Passaggio 1.1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.2.4.2

Moltiplica $\cos (θ + \frac{π}{2})$ per $1$ .

$f' (θ) = \cos (θ + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $F (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ + \frac{π}{2})$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\cos (θ + \frac{π}{2}) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$θ + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4

Sposta tutti i termini non contenenti $θ$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sottrai $\frac{π}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$θ = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{π - π}{2}$

Passaggio 1.2.4.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$θ = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.4

Dividi $0$ per $2$ .

$θ = 0$

Passaggio 1.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.6.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.6.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$θ + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $θ$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Sottrai $\frac{π}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$θ = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{3 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.3

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$θ = π$

Passaggio 1.2.7

Trova il periodo di $\cos (θ + \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.8

Il periodo della funzione $\cos (θ + \frac{π}{2})$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.9

Consolida le risposte.

$θ = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\sin (θ + \frac{π}{2})$ per ciascun valore di $θ$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $θ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $θ$ .

$\sin ((0) + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Somma $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.1.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $θ = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $π$ a $θ$ .

$\sin ((π) + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.3.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(0, 1), (π, - 1)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $θ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $0$ a $θ$ .

$\sin ((0) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Somma $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.1.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$1$

Passaggio 3.2

Calcola per $θ = \frac{7 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $\frac{7 π}{4}$ a $θ$ .

$\sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 3.2.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2})$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4})$

Passaggio 3.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{4})$

Passaggio 3.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{4})$

Passaggio 3.2.2.4.2

Somma $7 π$ e $2 π$ .

$\sin (\frac{9 π}{4})$

Passaggio 3.2.2.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.2.2.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4

Confronta i valori $F (θ)$ trovati per ciascun valore di $θ$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $F (θ)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $F (θ)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, 1)$

Minimo assoluto: $(π, - 1)$

Passaggio 5