Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4}$ on $- 1$ , $3$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{5} - 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{5}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$10 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f' (x) = 10 x^{4} - 20 x^{3}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$10 x^{4} - 20 x^{3}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 x^{4} - 20 x^{3} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $10 x^{3}$ da $10 x^{4} - 20 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $10 x^{3}$ da $10 x^{4}$ .

$10 x^{3} (x) - 20 x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $10 x^{3}$ da $- 20 x^{3}$ .

$10 x^{3} (x) + 10 x^{3} (- 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $10 x^{3}$ da $10 x^{3} (x) + 10 x^{3} (- 2)$ .

$10 x^{3} (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 1.2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $10 x^{3} (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $2 x^{5} - 5 x^{4}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$2 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 \cdot 0 - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 5 \cdot 0$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$2 {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + 5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2

Somma $1$ e $5$ .

$2^{6} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$64 - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$64 - 5 \cdot 16$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $16$ .

$64 - 80$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $80$ da $64$ .

$- 16$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (2, - 16)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$2 {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{4}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$2 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{4}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 - 5 {(- 1)}^{4}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$- 2 - 5 \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 2 - 5$

Passaggio 2.1.2.2

Sottrai $5$ da $- 2$ .

$- 7$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$2 {(3)}^{5} - 5 {(3)}^{4}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$2 \cdot 243 - 5 {(3)}^{4}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $243$ .

$486 - 5 {(3)}^{4}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$486 - 5 \cdot 81$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $81$ .

$486 - 405$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $405$ da $486$ .

$81$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, - 7), (3, 81)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(3, 81)$

Minimo assoluto: $(2, - 16)$

Passaggio 4