Calcolo Esempi

$f (x) = x {(x - 4)}^{2}$ ; $[0, 4]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi ${(x - 4)}^{2}$ come $(x - 4) (x - 4)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 4) (x - 4))]$

Passaggio 1.1.1.2

Espandi $(x - 4) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 4) - 4 (x - 4))]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

Passaggio 1.1.1.3.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

Passaggio 1.1.1.3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 8 x + 16)]$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 16$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16] + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.5.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.5.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.5.6

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.5.7

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.5.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.5.9

Moltiplica $x^{2} - 8 x + 16$ per $1$ .

$x (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 1.1.1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 1.1.1.6.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 1.1.1.6.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 1.1.1.6.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 1.1.1.6.2.5

Sposta $- 8$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} - 8 \cdot x + x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 1.1.1.6.2.6

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Passaggio 1.1.1.6.2.7

Sottrai $8 x$ da $- 8 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 16 x + 16$ .

$3 x^{2} - 16 x + 16$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ e la cui somma è $b = - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $- 16$ da $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Riscrivi $- 16$ come $- 4$ più $- 12$ .

$3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $3 x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $3 x - 4$ uguale a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $3 x - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 4$

Passaggio 1.2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 4) (x - 4) = 0$ vera.

$x = \frac{4}{3}, 4$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x {(x - 4)}^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $\frac{4}{3}$ a $x$ .

$(\frac{4}{3}) {((\frac{4}{3}) - 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.2

$- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 12}{3})}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{- 8}{3})}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{3} {(- \frac{8}{3})}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{8}{3}$ .

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{8}{3})}^{2})$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{8^{2}}{3^{2}})$

Passaggio 1.4.1.2.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{3} (1 \frac{8^{2}}{3^{2}})$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $\frac{8^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{8^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.8

Combina.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.9.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.9.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.9.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1 + 2}}$

Passaggio 1.4.1.2.9.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.10.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.10.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}}{3^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.10.3

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.10.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{3^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.10.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{6}}{3^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.10.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{2 + 6}}{3^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.10.5

Somma $2$ e $6$ .

$\frac{2^{8}}{3^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.11

Calcola gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.11.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2^{8}}{27}$

Passaggio 1.4.1.2.11.2

Eleva $2$ alla potenza di $8$ .

$\frac{256}{27}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$4 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0$

Passaggio 1.4.2.2.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{4}{3}, \frac{256}{27}), (4, 0)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$(0) {((0) - 4)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sottrai $4$ da $0$ .

$0 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$0 \cdot 16$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $0$ per $16$ .

$0$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$4 \cdot 0^{2}$

Passaggio 2.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (4, 0)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(\frac{4}{3}, \frac{256}{27})$

Minimo assoluto: $(0, 0), (4, 0)$

Passaggio 4