Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[0, 4 π]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.2.4

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x = π$

Passaggio 1.2.3.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.3.5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.3.5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.3.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.2.2.1

Semplifica $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 1.2.3.5.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.3.5.2.2.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.3.5.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.3.5.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.3.5.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Passaggio 1.2.3.5.2.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = 4 π - π$

Passaggio 1.2.3.5.2.2.1.6

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = 3 π$

Passaggio 1.2.3.6

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Passaggio 1.2.3.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.3.6.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3.6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.6.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 1.2.3.7

Il periodo della funzione $\cos (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.4

Consolida le risposte.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\sin (\frac{x}{2})$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $3 π$ a $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(π, 1), (3 π, - 1)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 3.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sin (\frac{0}{2})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi $0$ per $2$ .

$\sin (0)$

Passaggio 3.1.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 4 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $4 π$ a $x$ .

$\sin (\frac{4 π}{2})$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $4 π$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 3.2.2.1.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$\sin (2 π)$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\sin (0)$

Passaggio 3.2.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (4 π, 0)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(π, 1)$

Minimo assoluto: $(3 π, - 1)$

Passaggio 5