Calcolo Esempi

$f (x) = x^{a} {(1 - x)}^{b}$ , $0 \leq x \leq 1$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{a}$ e $g (x) = {(1 - x)}^{b}$ .

$x^{a} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{b}] + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{b}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$x^{a} (\frac{d}{d u} [u^{b}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = b$ .

$x^{a} (b u^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- 1 \cdot 1)) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \cdot - 1) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $b {(1 - x)}^{b - 1}$ .

$x^{a} (- 1 \cdot (b {(1 - x)}^{b - 1})) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.3.6.3

Riscrivi $- 1 b$ come $- b$ .

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Passaggio 1.1.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = a$ .

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} (a x^{a - 1})$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.1.4.1

Riordina i termini.

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Riordina i fattori in $- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$ .

$f' (x) = - b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b} = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{a} {(1 - (0))}^{b}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 2.1.2.1

Sottrai $0$ da $1$ .

$0^{a} \cdot 1^{b}$

Passaggio 2.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0^{a} \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $0^{a}$ per $1$ .

$0^{a}$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{a} {(1 - (1))}^{b}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 {(1 - (1))}^{b}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica ${(1 - (1))}^{b}$ per $1$ .

${(1 - (1))}^{b}$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

${(1 - 1)}^{b}$

Passaggio 2.2.2.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$0^{b}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0^{a}), (1, 0^{b})$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Nessun minimo assoluto

Passaggio 4