Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.4.2

Scomponi $x$ da $x - 2 \ln (x) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.4.2.3

Scomponi $x$ da $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.4.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Passaggio 1.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Passaggio 1.6

Semplifica $- 2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \ln (x^{2})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x^{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.2.2.4

Dividi $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 2.10

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Passaggio 2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 2.11.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.2.1.2

Moltiplica $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.2

Semplifica $3 \ln (x^{2})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.2.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.3

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.4

Scomponi $- 1$ da $\ln (x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.4.2

Scomponi $x$ da $x - 2 \ln (x) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.4.2.3

Scomponi $x$ da $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.4.4.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 4.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 4.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica $- 2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (x^{2}) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (x^{2}) = - 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $\ln (x^{2})$ per $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 1$

Passaggio 5.3.3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $\ln (x^{2}) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2}$

Passaggio 5.3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} = e^{1}$ .

$x^{2} = e$

Passaggio 5.3.5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

Passaggio 5.3.5.3

Semplifica.

$x = \pm \sqrt{e}$

Passaggio 5.3.5.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{e}$

Passaggio 5.3.5.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{e}$

Passaggio 5.3.5.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 6.3

Imposta l'argomento in $\ln (x^{2})$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} \leq 0$

Passaggio 6.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Semplifica $\sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.4.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq | 0 |$

Passaggio 6.4.2.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$| x | \leq 0$

Passaggio 6.4.3

Scrivi $| x | \leq 0$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 6.4.3.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 0$

Passaggio 6.4.3.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 6.4.3.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 0$

Passaggio 6.4.3.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 6.4.4

Trova l'intersezione di $x \leq 0$ e $x \geq 0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.4.5

Risolvi $- x \leq 0$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.5.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.4.5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.5.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.4.5.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.4.5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.5.1.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x \geq 0$

Passaggio 6.4.5.2

Trova l'intersezione di $x \geq 0$ e $x < 0$ .

Nessuna soluzione

Passaggio 6.4.6

Trova l'unione delle soluzioni.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \sqrt{e}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{e}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi ${\sqrt{e}}^{6}$ come $e^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e}$ come $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.2

Usa le regole del logaritmo per togliere $3$ dall'esponente.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.1.6

Sottrai $3$ da $5$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Passaggio 9.2

Riscrivi ${\sqrt{e}}^{4}$ come $e^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e}$ come $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 9.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

Passaggio 9.2.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 9.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Passaggio 9.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Passaggio 9.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

Passaggio 9.2.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 10

$x = \sqrt{e}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{e}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{e}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{e}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Riscrivi ${\sqrt{e}}^{2}$ come $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e}$ come $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Passaggio 11.2.1.5

Semplifica.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ .

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ .

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ è un massimo locale

Passaggio 13