Calcolo Esempi

$g (x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $12 x^{3} + 24 x^{2}$ e $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} + 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$g'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$g'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$g'' (x) = 36 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (x) = 36 x^{2} + 24 (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$g'' (x) = 36 x^{2} + 48 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 x^{3} + 24 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $12 x^{3} + 24 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 24 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} + 24 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} + 24 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3} + 24 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) + 24 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $24 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (2) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (2)$ .

$12 x^{2} (x + 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x^{2} (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$36 \cdot 0 + 48 (0)$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $36$ per $0$ .

$0 + 48 (0)$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $48$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $12 x^{3} + 24 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$g' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 24 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$g' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 24 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $12$ per $- 64$ .

$g' (- 4) = - 768 + 24 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$g' (- 4) = - 768 + 24 \cdot 16$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $24$ per $16$ .

$g' (- 4) = - 768 + 384$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $- 768$ e $384$ .

$g' (- 4) = - 384$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 384$ .

$- 384$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 1$ , dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata prima $12 x^{3} + 24 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$g' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$g' (- 1) = 12 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$g' (- 1) = - 12 + 24 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$g' (- 1) = - 12 + 24 \cdot 1$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $24$ per $1$ .

$g' (- 1) = - 12 + 24$

Passaggio 10.3.2.2

Somma $- 12$ e $24$ .

$g' (- 1) = 12$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $12 x^{3} + 24 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$g' (2) = 12 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$g' (2) = 12 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $12$ per $8$ .

$g' (2) = 96 + 24 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$g' (2) = 96 + 24 \cdot 4$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $24$ per $4$ .

$g' (2) = 96 + 96$

Passaggio 10.4.2.2

Somma $96$ e $96$ .

$g' (2) = 192$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $192$ .

$192$

Passaggio 10.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 2$ , allora $x = - 2$ è un minimo locale.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 10.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.7

Questi sono gli estremi locali per $g (x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$ .

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 11