Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ on $- 5$ , $5$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 9$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 9$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 9$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Dividi $- 9$ per $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 1.2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 1.2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 1.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{x}{x^{2} + 9}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} + 9}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3}{9 + 9}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Somma $9$ e $9$ .

$\frac{3}{18}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1)}{18}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$\frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 3}{9 + 9}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Somma $9$ e $9$ .

$\frac{- 3}{18}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{18}$

Passaggio 1.4.2.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Passaggio 1.4.2.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Passaggio 1.4.2.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{6}$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{6}$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(3, \frac{1}{6}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 5$ a $x$ .

$\frac{- 5}{{(- 5)}^{2} + 9}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 5}{25 + 9}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Somma $25$ e $9$ .

$\frac{- 5}{34}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{34}$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $5$ a $x$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} + 9}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5}{25 + 9}$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $25$ e $9$ .

$\frac{5}{34}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 5, - \frac{5}{34}), (5, \frac{5}{34})$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(3, \frac{1}{6})$

Minimo assoluto: $(- 3, - \frac{1}{6})$

Passaggio 4