Calcolo Esempi

Trovare il Max e Min Assoluto nell''Intervallo y=3x^(2/3)-2x
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2.3
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.2.4
e .
Passaggio 1.2.5
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.2.6
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.6.2
Sottrai da .
Passaggio 1.2.7
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.2.8
e .
Passaggio 1.2.9
e .
Passaggio 1.2.10
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.11
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.2.12
Scomponi da .
Passaggio 1.2.13
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.13.1
Scomponi da .
Passaggio 1.2.13.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.13.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 2.2.3
Differenzia usando la regola della catena secondo cui è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.2.4
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.5
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.5.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.2.5.2
e .
Passaggio 2.2.5.3
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.2.6
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 2.2.7
e .
Passaggio 2.2.8
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 2.2.9
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.9.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.9.2
Sottrai da .
Passaggio 2.2.10
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.2.11
e .
Passaggio 2.2.12
e .
Passaggio 2.2.13
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.13.1
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.2.13.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 2.2.13.3
Sottrai da .
Passaggio 2.2.13.4
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.2.14
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 2.2.15
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.16
e .
Passaggio 2.2.17
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.3
Differenzia usando la regola della costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2
Somma e .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 4.1.2.4
e .
Passaggio 4.1.2.5
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 4.1.2.6
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.6.2
Sottrai da .
Passaggio 4.1.2.7
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 4.1.2.8
e .
Passaggio 4.1.2.9
e .
Passaggio 4.1.2.10
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.11
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 4.1.2.12
Scomponi da .
Passaggio 4.1.2.13
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.13.1
Scomponi da .
Passaggio 4.1.2.13.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 4.1.2.13.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 4.1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.3
Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.
Passaggio 5.3.2
Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.
Passaggio 5.4
Moltiplica per ciascun termine in per eliminare le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.1
Moltiplica ogni termine in per .
Passaggio 5.4.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.4.2.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.5
Risolvi l'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 5.5.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.5.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.5.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 5.5.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 5.5.3
Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.
Passaggio 5.5.4
Semplifica l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.1
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.1.1
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.1.1.1
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.1.1.1.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.5.4.1.1.1.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.1.1.1.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.5.4.1.1.1.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.5.4.1.1.2
Semplifica.
Passaggio 5.5.4.2
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1.1
Applica la regola per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.
Passaggio 6.1.2
Qualsiasi cosa elevata a è la base stessa.
Passaggio 6.2
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 6.3
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.3.1
Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 6.3.2
Semplifica ogni lato dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.3.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 6.3.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.3.2.2.1
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.3.2.2.1.1
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.3.2.2.1.1.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 6.3.2.2.1.1.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6.3.2.2.1.2
Semplifica.
Passaggio 6.3.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.3.2.3.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 9.2
Moltiplica per .
Passaggio 10
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 11.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.2
Sottrai da .
Passaggio 11.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1
Riscrivi come .
Passaggio 13.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 13.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.3
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.3.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 13.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 13.3.3
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Indefinito
Passaggio 13.4
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Indefinito
Indefinito
Passaggio 14
Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda o indefinita, applica il test della derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1
Dividi in intervalli separati intorno ai valori che rendono la derivata prima o indefinita.
Passaggio 14.2
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.2.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 14.3
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.3.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.3.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 14.3.2.2
Sottrai da .
Passaggio 14.3.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 14.4
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.4.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.4.2.1
Rimuovi le parentesi.
Passaggio 14.4.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 14.5
Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a , allora è un minimo locale.
è un minimo locale
Passaggio 14.6
Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a , allora è un massimo locale.
è un massimo locale
Passaggio 14.7
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un massimo locale
è un minimo locale
è un massimo locale
Passaggio 15