Calcolo Esempi

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ , $0 \leq x \leq 36$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{12} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{12} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.2.3

$2$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.2.4

$\frac{2}{12}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.5.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{6} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{6} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$\frac{x}{6} - 6 + \frac{d}{d x} [108]$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $108$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 + 0$

Passaggio 1.1.1.4.2

Somma $\frac{x}{6} - 6$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{6} - 6$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{6} - 6$ .

$\frac{x}{6} - 6$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{6} - 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{6} = 6$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Passaggio 1.2.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Passaggio 1.2.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 6 \cdot 6$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$x = 36$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $36$ a $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.2.1

Scomponi $12$ da $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $36$ .

$108 - 216 + 108$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Sottrai $216$ da $108$ .

$- 108 + 108$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $- 108$ e $108$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(36, 0)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 108$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 108$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{12}$ per $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 108$

Passaggio 2.1.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 0 + 108$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 108$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma $0$ e $108$ .

$108$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $36$ a $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 2.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Scomponi $12$ da $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 2.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $36$ .

$108 - 216 + 108$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Sottrai $216$ da $108$ .

$- 108 + 108$

Passaggio 2.2.2.2.2

Somma $- 108$ e $108$ .

$0$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 108), (36, 0)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, 108)$

Minimo assoluto: $(36, 0)$

Passaggio 4