Calcolo Esempi

$f (t) = 4 \sqrt{t} - t$ , $[0, 16]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sqrt{t} - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.9

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.10

$4$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.11

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.12

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.13.1

Scomponi $2$ da $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (t) = \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$

Passaggio 1.2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$t^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 1.2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica per $t^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ per $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $t^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$2 = t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi l'equazione come $t^{\frac{1}{2}} = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} = 2$

Passaggio 1.2.5.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Passaggio 1.2.5.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.1

Semplifica ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 1.2.5.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 1.2.5.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$t^{1} = 2^{2}$

Passaggio 1.2.5.3.1.1.2

Semplifica.

$t = 2^{2}$

Passaggio 1.2.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$t = 4$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2}{\sqrt{t^{1}}} - 1$

Passaggio 1.3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{2}{\sqrt{t}} - 1$

Passaggio 1.3.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{\sqrt{t}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{t} = 0$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{t}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Semplifica ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$t^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$t = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$t = 0$

Passaggio 1.3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{t}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$t < 0$

Passaggio 1.3.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 1.4

Risolvi $4 \sqrt{t} - t$ per ciascun valore di $t$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $t = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $4$ a $t$ .

$4 \sqrt{4} - (4)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$4 \sqrt{4} - (4)$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2}} - (4)$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 \cdot 2 - (4)$

Passaggio 1.4.1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 - (4)$

Passaggio 1.4.1.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$8 - 4$

Passaggio 1.4.1.2.3

Sottrai $4$ da $8$ .

$4$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $0$ a $t$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Passaggio 1.4.2.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Passaggio 1.4.2.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 \cdot 0 - (0)$

Passaggio 1.4.2.2.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 - (0)$

Passaggio 1.4.2.2.5

Sottrai $0$ da $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(4, 4), (0, 0)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $0$ a $t$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Passaggio 2.1.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Passaggio 2.1.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 \cdot 0 - (0)$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 - (0)$

Passaggio 2.1.2.5

Sottrai $0$ da $0$ .

$0$

Passaggio 2.2

Calcola per $t = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $16$ a $t$ .

$4 \sqrt{16} - (16)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$4 \sqrt{16} - (16)$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$4 \sqrt{4^{2}} - (16)$

Passaggio 2.2.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 \cdot 4 - (16)$

Passaggio 2.2.2.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 - (16)$

Passaggio 2.2.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$16 - 16$

Passaggio 2.2.2.3

Sottrai $16$ da $16$ .

$0$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (16, 0)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (t)$ trovati per ciascun valore di $t$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (t)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (t)$ più basso.

Massimo assoluto: $(4, 4)$

Minimo assoluto: $(0, 0), (16, 0)$

Passaggio 4