Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 48 x$ on $- 5$ , $5$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 48 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 48 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 48$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 48$ .

$3 x^{2} - 48$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 48 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 48 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $48$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 48$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 48$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 48$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{48}{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{48}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{3}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $48$ per $3$ .

$x^{2} = 16$

Passaggio 1.2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{16}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 1.2.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 4$

Passaggio 1.2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 4$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{3} - 48 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 4$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

${(4)}^{3} - 48 \cdot 4$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 48 \cdot 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 48$ per $4$ .

$64 - 192$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $192$ da $64$ .

$- 128$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 4$ a $x$ .

${(- 4)}^{3} - 48 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$- 64 - 48 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 48$ per $- 4$ .

$- 64 + 192$

Passaggio 1.4.2.2.2

Somma $- 64$ e $192$ .

$128$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(4, - 128), (- 4, 128)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 5$ a $x$ .

${(- 5)}^{3} - 48 \cdot - 5$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$- 125 - 48 \cdot - 5$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $- 48$ per $- 5$ .

$- 125 + 240$

Passaggio 2.1.2.2

Somma $- 125$ e $240$ .

$115$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $5$ a $x$ .

${(5)}^{3} - 48 \cdot 5$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$125 - 48 \cdot 5$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $- 48$ per $5$ .

$125 - 240$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $240$ da $125$ .

$- 115$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 5, 115), (5, - 115)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(- 4, 128)$

Minimo assoluto: $(4, - 128)$

Passaggio 4