Calcolo Esempi

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ,

[- \frac{1}{2}, 4]

$[- \frac{1}{2}, 4]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

x^{3} - 3 x^{2} + 1

$x^{3} - 3 x^{2} + 1$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola

\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché

- 3

$- 3$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 2

$n = 2$ .

3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica

2

$2$ per

- 3

$- 3$ .

3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché

1

$1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

1

$1$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

3 x^{2} - 6 x + 0

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma

3 x^{2} - 6 x

$3 x^{2} - 6 x$ e

0

$0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$3 x^{2} - 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi

$3 x$ da

$3 x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi

$3 x$ da

$3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi

$3 x$ da

$- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi

$3 x$ da

$3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta

$x$ uguale a

$0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta

$x - 2$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta

$x - 2$ uguale a

$0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$3 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi

$x^{3} - 3 x^{2} + 1$ per ciascun valore di

$x$ dove la derivata è

$0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per

$x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci

$0$ a

$x$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica

$- 3$ per

$0$ .

$0 + 0 + 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Somma

$0$ e

$0$ .

$0 + 1$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma

$0$ e

$1$ .

$1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per

$x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci

$2$ a

$x$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Moltiplica

$- 3$ per

$4$ .

$8 - 12 + 1$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Sottrai

$12$ da

$8$ .

$- 4 + 1$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma

$- 4$ e

$1$ .

$- 3$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 1), (2, - 3)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per

$x = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci

$- \frac{1}{2}$ a

$x$ .

${(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Usa la regola della potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a

$- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Passaggio 2.1.2.1.2

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$3$ .

$- \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Passaggio 2.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Passaggio 2.1.2.1.4

Eleva

$2$ alla potenza di

$3$ .

$- \frac{1}{8} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Passaggio 2.1.2.1.5

Usa la regola della potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a

$- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1$

Passaggio 2.1.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Passaggio 2.1.2.1.6

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Passaggio 2.1.2.1.7

Moltiplica

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per

$1$ .

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1$

Passaggio 2.1.2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 1$

Passaggio 2.1.2.1.9

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 2.1.2.1.10

$- 3$ e

$\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 1$

Passaggio 2.1.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1$

Passaggio 2.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Moltiplica

$\frac{3}{4}$ per

$\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica

$\frac{3}{4}$ per

$\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Passaggio 2.1.2.2.3

Scrivi

$1$ come una frazione con denominatore

$1$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Passaggio 2.1.2.2.4

Moltiplica

$\frac{1}{1}$ per

$\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 2.1.2.2.5

Moltiplica

$\frac{1}{1}$ per

$\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Passaggio 2.1.2.2.6

Riordina i fattori di

$4 \cdot 2$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Passaggio 2.1.2.2.7

Moltiplica

$2$ per

$4$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Passaggio 2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 - 3 \cdot 2 + 8}{8}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Moltiplica

$- 3$ per

$2$ .

$\frac{- 1 - 6 + 8}{8}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Sottrai

$6$ da

$- 1$ .

$\frac{- 7 + 8}{8}$

Passaggio 2.1.2.4.3

Somma

$- 7$ e

$8$ .

$\frac{1}{8}$

Passaggio 2.2

Calcola per

$x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci

$4$ a

$x$ .

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} + 1$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Eleva

$4$ alla potenza di

$3$ .

$64 - 3 {(4)}^{2} + 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Eleva

$4$ alla potenza di

$2$ .

$64 - 3 \cdot 16 + 1$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica

$- 3$ per

$16$ .

$64 - 48 + 1$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Sottrai

$48$ da

$64$ .

$16 + 1$

Passaggio 2.2.2.2.2

Somma

$16$ e

$1$ .

$17$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{8}), (4, 17)$

Passaggio 3

Confronta i valori

$f (x)$ trovati per ciascun valore di

$x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore

$f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore

$f (x)$ più basso.

Massimo assoluto:

$(4, 17)$

Minimo assoluto:

$(2, - 3)$

Passaggio 4