Calcolo Esempi

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 4$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.10.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.10.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

Passaggio 2.2

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x - 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.8.2

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.8.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Sposta $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.2

Espandi $(- 2 x - 4) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.3.2

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.3.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.3

Somma $0$ e $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{8 x}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 (x^{4})}$

Passaggio 2.10.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.10.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.10.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Passaggio 4.1.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.9.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Passaggio 4.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Passaggio 4.1.10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Passaggio 4.1.10.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Passaggio 4.1.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Passaggio 4.1.10.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.3.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 0$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.2.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 2, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $2$ e ${(- 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Scomponi $- 2$ da $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Scomponi $- 2$ da ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 9.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 9.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 1}{4}$

Passaggio 9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 10

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{4 (- 2)}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{4 (- 2)}$

Passaggio 11.2.1.2

Somma $4$ e $4$ .

$g (- 2) = \frac{8}{4 (- 2)}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{8}{- 8}$

Passaggio 11.2.2.2

Dividi $8$ per $- 8$ .

$g (- 2) = - 1$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2}{{(2)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $2$ e ${(2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Scomponi $2$ da ${(2)}^{3}$ .

$\frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Passaggio 13.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Passaggio 13.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 13.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 14

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{4 (2)}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$g (2) = \frac{4 + 4}{4 (2)}$

Passaggio 15.2.1.2

Somma $4$ e $4$ .

$g (2) = \frac{8}{4 (2)}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$g (2) = \frac{8}{8}$

Passaggio 15.2.2.2

Dividi $8$ per $8$ .

$g (2) = 1$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$ .

$(- 2, - 1)$ è un massimo locale

$(2, 1)$ è un minimo locale

Passaggio 17