Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ on $- 1$ , $2$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

Passaggio 1.1.1.2.4

$- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

Passaggio 1.1.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

Passaggio 1.1.1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

Passaggio 1.1.1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.7.1

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

Passaggio 1.1.1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

Passaggio 1.1.1.2.7.2.4

Dividi $- 3 x$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 3 x$ .

$3 x^{2} - 3 x$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 3 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 3 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $3 x$ da $- 3 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$3 x (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Passaggio 1.4.1.2.1.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - \frac{3}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - \frac{3}{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - 3}{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2.3

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (1, - \frac{1}{2})$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

${(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{3}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{3}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3} \frac{3}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.1.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 3}{2}$

Passaggio 2.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 - 3}{2}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$\frac{- 5}{2}$

Passaggio 2.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{2}$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Scomponi $2$ da ${(2)}^{2}$ .

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Passaggio 2.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Passaggio 2.2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$8 - 3 \cdot 2$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$8 - 6$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $6$ da $8$ .

$2$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, - \frac{5}{2}), (2, 2)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(2, 2)$

Minimo assoluto: $(- 1, - \frac{5}{2})$

Passaggio 4