Calcolo Esempi

f (x) = 2 {sin}^{2} (x)

$f (x) = 2 \sin^{2} (x)$ ,

[\frac{π}{3}, 2 π]

$[\frac{π}{3}, 2 π]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

2 {sin}^{2} (x)

$2 \sin^{2} (x)$ rispetto a

x

$x$ è

2 \frac{d}{d x} [{sin}^{2} (x)]

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

2 \frac{d}{d x} [{sin}^{2} (x)]

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ e

g (x) = sin (x)

$g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u

$u$ come

sin (x)

$\sin (x)$ .

2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [sin (x)])

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ dove

n = 2

$n = 2$ .

2 (2 u \frac{d}{d x} [sin (x)])

$2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

sin (x)

$\sin (x)$ .

2 (2 sin (x) \frac{d}{d x} [sin (x)])

$2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

2 (2 sin (x) \frac{d}{d x} [sin (x)])

$2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.3

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

4 (sin (x) \frac{d}{d x} [sin (x)])

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.4

La derivata di

sin (x)

$\sin (x)$ rispetto a

x

$x$ è

cos (x)

$\cos (x)$ .

4 sin (x) cos (x)

$4 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.1.1.5

Riordina i fattori di

4 sin (x) cos (x)

$4 \sin (x) \cos (x)$ .

f' (x) = 4 cos (x) sin (x)

$f' (x) = 4 \cos (x) \sin (x)$

f' (x) = 4 cos (x) sin (x)

$f' (x) = 4 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di

f (x)

$f (x)$ rispetto a

x

$x$ è

4 cos (x) sin (x)

$4 \cos (x) \sin (x)$ .

4 cos (x) sin (x)

$4 \cos (x) \sin (x)$

4 cos (x) sin (x)

$4 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a

0

$0$ quindi risolvi l'equazione

4 cos (x) sin (x) = 0

$4 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a

0

$0$ .

4 cos (x) sin (x) = 0

$4 \cos (x) \sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta

cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta

cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

x = arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Il valore esatto di

arccos (0)

$\arccos (0)$ è

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

2 π

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4

Semplifica

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.1

Per scrivere

2 π

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.2.1

2 π

$2 π$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.3.1

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.3.2

Sottrai

π

$π$ da

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.5

Trova il periodo di

cos (x)

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.3.2.5.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.5.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 1.2.3.2.6

Il periodo della funzione

cos (x)

$\cos (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 1.2.4

Imposta

sin (x)

$\sin (x)$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta

sin (x)

$\sin (x)$ uguale a

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

x = arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Il valore esatto di

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ è

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Passaggio 1.2.4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

π

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

x = π - 0

$x = π - 0$

Passaggio 1.2.4.2.4

Sottrai

0

$0$ da

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Passaggio 1.2.4.2.5

Trova il periodo di

sin (x)

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.4.2.5.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 1.2.4.2.6

Il periodo della funzione

sin (x)

$\sin (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

4 cos (x) sin (x) = 0

$4 \cos (x) \sin (x) = 0$ vera.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 1.2.6

Consolida le risposte.

x = \frac{π n}{2}

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π n}{2}

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi

2 {sin}^{2} (x)

$2 \sin^{2} (x)$ per ciascun valore di

x

$x$ dove la derivata è

0

$0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per

x = 0

$x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci

0

$0$ a

x

$x$ .

2 {sin}^{2} (0)

$2 \sin^{2} (0)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Il valore esatto di

sin (0)

$\sin (0)$ è

0

$0$ .

2 \cdot 0^{2}

$2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

2 \cdot 0

$2 \cdot 0$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica

2

$2$ per

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ a

x

$x$ .

2 {sin}^{2} (\frac{π}{2})

$2 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Il valore esatto di

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ è

1

$1$ .

2 \cdot 1^{2}

$2 \cdot 1^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.4.2.2.3

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 2)

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 2)$ , per qualsiasi intero

n

$n$

(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 2)

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 2)$ , per qualsiasi intero

n

$n$

(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 2)

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 2)$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

(π, 0), (2 π, 0), (\frac{π}{2}, 2), (\frac{3 π}{2}, 2)

$(π, 0), (2 π, 0), (\frac{π}{2}, 2), (\frac{3 π}{2}, 2)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ a

x

$x$ .

2 {sin}^{2} (\frac{π}{3})

$2 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Il valore esatto di

sin (\frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{3})$ è

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}

$2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Applica la regola del prodotto a

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}

$2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ come

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ come

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}

$2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}

$2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}

$2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.5

Calcola l'esponente.

$2 \frac{3}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.4

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$2 (\frac{3}{4})$

Passaggio 3.1.2.5

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$2 \frac{3}{2 (2)}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2}$

Passaggio 3.2

Calcola per

$x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci

$2 π$ a

$x$ .

$2 \sin^{2} (2 π)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di

$2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a

$0$ e minore di

$2 π$ .

$2 \sin^{2} (0)$

Passaggio 3.2.2.2

Il valore esatto di

$\sin (0)$ è

$0$ .

$2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2.2.3

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$2 \cdot 0$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica

$2$ per

$0$ .

$0$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{3}, \frac{3}{2}), (2 π, 0)$

Passaggio 4

Confronta i valori

$f (x)$ trovati per ciascun valore di

$x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore

$f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore

$f (x)$ più basso.

Massimo assoluto:

$(\frac{π}{2}, 2), (\frac{3 π}{2}, 2)$

Minimo assoluto:

$(π, 0), (2 π, 0)$

Passaggio 5