Calcolo Esempi

$g (x) = \frac{8 x^{2}}{x - 2}$ , $[- 2, 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

$8 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 \frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 2$ .

$8 \frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.6.3

$8$ e $\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 (2 (x - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 ((2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (2 x \cdot x) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{8 (2 (x \cdot x)) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{8 (2 x^{2}) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.4.1.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (- 4 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.4.1.4

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x - 8 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.4.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.5

Scomponi $8 x$ da $8 x^{2} - 32 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.5.1

Scomponi $8 x$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{8 x (x) - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.5.2

Scomponi $8 x$ da $- 32 x$ .

$\frac{8 x (x) + 8 x (- 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.5.3

Scomponi $8 x$ da $8 x (x) + 8 x (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 x (x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.3.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.3.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $8 x (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{8 {(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $(0) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $8 {(0)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{(0) - 2}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 (0) - 2}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{0 - 1}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{0 - 1}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{- 1}$

Passaggio 1.4.1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.4.1.2.2.4

Dividi $0$ per $- 1$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$\frac{8 {(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $(4) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $8 {(4)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{(4) - 2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 (2) - 2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4^{1} {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Passaggio 1.4.2.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4^{1 + 2}}{2 - 1}$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4^{3}}{2 - 1}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{64}{2 - 1}$

Passaggio 1.4.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{64}{1}$

Passaggio 1.4.2.2.5

Dividi $64$ per $1$ .

$64$

Passaggio 1.4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{0}$

Passaggio 1.4.3.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (4, 64)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(0, 0)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$\frac{8 {(- 2)}^{2}}{(- 2) - 2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $(- 2) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $8 {(- 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{(- 2) - 2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 (- 1) - 2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Passaggio 3.1.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Passaggio 3.1.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 {(- 2)}^{2}}{- 1 - 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 1 - 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 2}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16}{- 2}$

Passaggio 3.1.2.2.4

Dividi $16$ per $- 2$ .

$- 8$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{8 {(1)}^{2}}{(1) - 2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{8 \cdot 1}{1 - 2}$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{8 \cdot 1}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{8}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.4

Dividi $8$ per $- 1$ .

$- 8$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, - 8), (1, - 8)$

Passaggio 4

Confronta i valori $g (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, 0)$

Minimo assoluto: $(- 2, - 8), (1, - 8)$

Passaggio 5