Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ ; $(0, \infty)$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $3 x^{2} + 2 x - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 2 x - 5$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Riscrivi $2$ come $- 3$ più $5$ .

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.5

Imposta $3 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $3 x + 5$ uguale a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $3 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 5$

Passaggio 1.2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 1.2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{3}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ vera.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 1 - 5 \cdot 1 + 8$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 + 1 - 5 + 8$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Somma $1$ e $1$ .

$2 - 5 + 8$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$- 3 + 8$

Passaggio 1.4.1.2.2.3

Somma $- 3$ e $8$ .

$5$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - \frac{5}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- \frac{5}{3}$ a $x$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.5

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.7

Moltiplica $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.8

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.9

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.10

Moltiplica $- 5 (- \frac{5}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.10.2

$5$ e $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.10.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} + 8$

Passaggio 1.4.2.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 1.4.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{25}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} + 8$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{25}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} + 8$

Passaggio 1.4.2.2.2.3

Moltiplica $\frac{25}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} + 8$

Passaggio 1.4.2.2.2.4

Moltiplica $\frac{25}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 8$

Passaggio 1.4.2.2.2.5

Scrivi $8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1}$

Passaggio 1.4.2.2.2.6

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.2.7

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.2.8

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.2.9

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.2.10

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.2.2.4.1

Moltiplica $25$ per $3$ .

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.4.2

Moltiplica $25$ per $9$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.4.3

Moltiplica $8$ per $27$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 216}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.5

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 1.4.2.2.5.1

Somma $- 125$ e $75$ .

$\frac{- 50 + 225 + 216}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.5.2

Somma $- 50$ e $225$ .

$\frac{175 + 216}{27}$

Passaggio 1.4.2.2.5.3

Somma $175$ e $216$ .

$\frac{391}{27}$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 5), (- \frac{5}{3}, \frac{391}{27})$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(1, 5)$

Passaggio 3

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 3.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (- \frac{5}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 3.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - \frac{5}{3})$ nella derivata prima $3 x^{2} + 2 x - 5$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 5$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 + 2 (- 4) - 5$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (- 4) = 48 + 2 (- 4) - 5$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 - 8 - 5$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Sottrai $8$ da $48$ .

$f' (- 4) = 40 - 5$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sottrai $5$ da $40$ .

$f' (- 4) = 35$

Passaggio 3.2.2.3

La risposta finale è $35$ .

$35$

Passaggio 3.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \frac{5}{3}, 1)$ nella derivata prima $3 x^{2} + 2 x - 5$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 5$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 + 2 (0) - 5$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 (0) - 5$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 5$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 5$

Passaggio 3.3.2.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$f' (0) = - 5$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 3.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $3 x^{2} + 2 x - 5$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 5$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 + 2 (4) - 5$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (4) = 48 + 2 (4) - 5$

Passaggio 3.4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (4) = 48 + 8 - 5$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Somma $48$ e $8$ .

$f' (4) = 56 - 5$

Passaggio 3.4.2.2.2

Sottrai $5$ da $56$ .

$f' (4) = 51$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $51$ .

$51$

Passaggio 3.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - \frac{5}{3}$ , allora $x = - \frac{5}{3}$ è un massimo locale.

$x = - \frac{5}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 3.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un minimo locale.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 3.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ .

$x = - \frac{5}{3}$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

$x = - \frac{5}{3}$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Minimo assoluto: $(1, 5)$

Passaggio 5