Calcolo Esempi

$g (x) = e^{- x^{4}}$ , $- 2 \leq x \leq 1$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{4}$ .

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Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{4}$ .

$e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$ .

$- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Riordina i fattori in $- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$ .

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x^{4}} = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 1.2.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $e^{- x^{4}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta $e^{- x^{4}}$ uguale a $0$ .

$e^{- x^{4}} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $e^{- x^{4}} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x^{4}}) = \ln (0)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x^{4}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $e^{- x^{4}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$e^{- {(0)}^{4}}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{- 0}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 1)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 2$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$e^{- {(- 2)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 2.1.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$e^{- 1 \cdot 16}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$e^{- 16}$

Passaggio 2.1.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{16}}$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$e^{- {(1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{- 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, \frac{1}{e^{16}}), (1, \frac{1}{e})$

Passaggio 3

Confronta i valori $g (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, 1)$

Minimo assoluto: $(- 2, \frac{1}{e^{16}})$

Passaggio 4