Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $[- 2, - 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.5.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.2.2

Somma $- 4 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2.3

Somma $- 4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.3.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.2

Scomponi $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $- x + 1$ e ${(x - 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.4

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.5

Scomponi $x - 1$ da $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.4.6.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x = 0$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Dividi $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

Passaggio 1.4.2.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Nessun minimo assoluto

Passaggio 5