Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12$ , $(- 2, 4)$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $3 x$ da $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{3} - 3 x^{2} + 12$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 12$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 12$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 12$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$0 + 0 + 12$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 12$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$12$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 12$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} + 12$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 12$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$8 - 12 + 12$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 1.4.2.2.2.1

Sottrai $12$ da $8$ .

$- 4 + 12$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma $- 4$ e $12$ .

$8$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 12), (2, 8)$

Passaggio 2

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 2.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 2.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 6 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 12 + 12$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $12$ e $12$ .

$f' (- 2) = 24$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 2.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 6 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (1) = 3 - 6$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $6$ da $3$ .

$f' (1) = - 3$

Passaggio 2.3.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 2.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 6 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 2.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (4) = 48 - 6 \cdot 4$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f' (4) = 48 - 24$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $24$ da $48$ .

$f' (4) = 24$

Passaggio 2.4.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 2.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 2.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 2$ , allora $x = 2$ è un minimo locale.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 2.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, 12)$

Minimo assoluto: $(2, 8)$

Passaggio 4