Calcolo Esempi

$g (x) = - \sqrt{1 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x^{2}}$ come ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.7.3

Sposta ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.1.12

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.12.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Passaggio 1.1.1.14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.14.1

$2$ e $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 1.1.1.14.2

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.14.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.14.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.14.5

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{x}{\sqrt{{(- x^{2} + 1)}^{1}}}$

Passaggio 1.3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.3.2

Imposta il denominatore in $\frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{- x^{2} + 1} = 0$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- x^{2} + 1}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x^{2} + 1}$ come ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Semplifica ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x^{2} + 1)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$- x^{2} + 1 = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1.3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 1$

Passaggio 1.3.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.3.3.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.3.3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.3.3.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.3.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.3.3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.3.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{- x^{2} + 1}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$- x^{2} + 1 < 0$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} < - 1$

Passaggio 1.3.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.3.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Passaggio 1.3.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Passaggio 1.3.5.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > \sqrt{1}$

Passaggio 1.3.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| x | > 1$

Passaggio 1.3.5.5

Scrivi $| x | > 1$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 1.3.5.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x > 1$

Passaggio 1.3.5.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 1.3.5.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x > 1$

Passaggio 1.3.5.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.3.5.6

Trova l'intersezione di $x > 1$ e $x \geq 0$ .

$x > 1$

Passaggio 1.3.5.7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.3.5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.3.5.7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.3.5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.7.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$x < - 1$

Passaggio 1.3.5.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < - 1$ o $x > 1$

Passaggio 1.3.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Passaggio 1.4

Risolvi $- \sqrt{1 - x^{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$- \sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \sqrt{1 - 0}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \sqrt{1 + 0}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$- \sqrt{1}$

Passaggio 1.4.1.2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$- \sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$- \sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \sqrt{1 - 1}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \sqrt{0}$

Passaggio 1.4.2.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- 0$

Passaggio 1.4.2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.3

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$- \sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sqrt{1 - 1}$

Passaggio 1.4.3.2.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \sqrt{0}$

Passaggio 1.4.3.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- 0$

Passaggio 1.4.3.2.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(0, - 1), (1, 0)$

Passaggio 3

Confronta i valori $g (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, 0)$

Minimo assoluto: $(0, - 1)$

Passaggio 4