Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x^{2}}$ come ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Passaggio 1.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Passaggio 1.13.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11.3

Sposta ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11.4

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.13

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.14

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.16

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 (\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.16.2

Moltiplica $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

$2$ e $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.18.2

$\frac{2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.19

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.20

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.22

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.23

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.24

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.25

Per scrivere ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.27

Moltiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.27.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.27.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.27.3

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.27.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{(4 - x^{2}) + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.28

Semplifica ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{4 - x^{2} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.29

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{4 + 0}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.30

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.31

Riscrivi $\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - x^{2}}) + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.32

Moltiplica $\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{4 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.33

Moltiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $4 - x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.33.1

Moltiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.33.1.1

Eleva $4 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.33.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.33.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.33.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.33.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.34

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.35

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.35.1

Moltiplica $\frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Passaggio 2.35.2

Somma $- \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x^{2}}$ come ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 4.1.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 4.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Passaggio 4.1.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Passaggio 4.1.13.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 4.1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.1.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{x}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{4 - x^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x^{2}}$ come ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$4 - x^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 4$

Passaggio 6.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 6.3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 6.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 6.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 6.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 6.3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 6.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt{4 - x^{2}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 - x^{2} < 0$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} < - 4$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} > \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} > 4$

Passaggio 6.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{4}$

Passaggio 6.5.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > \sqrt{4}$

Passaggio 6.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1

Semplifica $\sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| x | > \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 6.5.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > | 2 |$

Passaggio 6.5.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$| x | > 2$

Passaggio 6.5.5

Scrivi $| x | > 2$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 6.5.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x > 2$

Passaggio 6.5.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 6.5.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x > 2$

Passaggio 6.5.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x > 2 & x \geq 0 \\ - x > 2 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 6.5.6

Trova l'intersezione di $x > 2$ e $x \geq 0$ .

$x > 2$

Passaggio 6.5.7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 2$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2}{- 1}$

Passaggio 6.5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{2}{- 1}$

Passaggio 6.5.7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{2}{- 1}$

Passaggio 6.5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.3.1

Dividi $2$ per $- 1$ .

$x < - 2$

Passaggio 6.5.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < - 2$ o $x > 2$

Passaggio 6.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{4}{{(4 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{4}{{(4 - 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{4}{{(4 + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Somma $4$ e $0$ .

$- \frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4}{2^{3}}$

Passaggio 9.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4}{8}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{4 (1)}{8}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 - 0}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 + 0}$

Passaggio 11.2.3

Somma $4$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt{4}$

Passaggio 11.2.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 11.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = 2$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{4}{{(4 - {(- 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4}{{(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- \frac{4}{{(4 - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$- \frac{4}{0^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{4}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 13.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 13.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4}{0^{3}}$

Passaggio 13.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{4}{0}$

Passaggio 13.2.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{4}{0}$

Passaggio 13.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 15