Calcolo Esempi

$f (x) = 5 - \sqrt{x}$ ; $1 \leq x \leq 4$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.1.2.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.3

Sottrai $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ da $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 1.3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 1.3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 x = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x = 0$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 1.3.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 1.4

Risolvi $5 - \sqrt{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$5 - \sqrt{0}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$5 - \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$5 - 0$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$5 + 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $5$ e $0$ .

$5$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 5)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$5 - \sqrt{1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$5 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 - 1$

Passaggio 3.1.2.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$4$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$5 - \sqrt{4}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$5 - \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$5 - 1 \cdot 2$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$5 - 2$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$3$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 4), (4, 3)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, 4)$

Minimo assoluto: $(4, 3)$

Passaggio 5