Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + \frac{240}{x}$ ; $(0, \infty)$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + \frac{240}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $240$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{240}{x}$ rispetto a $x$ è $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 x + 240 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.1.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $240$ .

$2 x - 240 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 240 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

$- 240$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 240}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{2}, 1$

Passaggio 1.2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ per $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{2 + 1} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{240}{x^{2}}$ nel numeratore.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{3} - 240 = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 240 = 0$

Passaggio 1.2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $240$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} = 240$

Passaggio 1.2.4.2

Sottrai $240$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} - 240 = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 240$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 240 = 0$

Passaggio 1.2.4.3.2

Scomponi $2$ da $- 240$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 120 = 0$

Passaggio 1.2.4.3.3

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 \cdot - 120$ .

$2 (x^{3} - 120) = 0$

Passaggio 1.2.4.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{3} - 120) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{3} - 120) = 0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.4.2.1.2

Dividi $x^{3} - 120$ per $1$ .

$x^{3} - 120 = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x^{3} - 120 = 0$

Passaggio 1.2.4.5

Somma $120$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 120$

Passaggio 1.2.4.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{120}$

Passaggio 1.2.4.7

Semplifica $\sqrt[3]{120}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.7.1

Riscrivi $120$ come $2^{3} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.7.1.1

Scomponi $8$ da $120$ .

$x = \sqrt[3]{8 (15)}$

Passaggio 1.2.4.7.1.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 15}$

Passaggio 1.2.4.7.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{240}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{2} + \frac{240}{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 2 \sqrt[3]{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $2 \sqrt[3]{15}$ a $x$ .

${(2 \sqrt[3]{15})}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt[3]{15}$ .

$2^{2} {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ come $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{15^{2}} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $240$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $240$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{15}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 (\sqrt[3]{15})}$

Passaggio 1.4.1.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.6

Moltiplica $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.7.1

Moltiplica $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{\sqrt[3]{15} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7.2

Eleva $\sqrt[3]{15}$ alla potenza di $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1 + 2}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{15}$ come $15^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{(15^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{1}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.7.5.5

Calcola l'esponente.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15}$

Passaggio 1.4.1.2.1.8

Elimina il fattore comune di $120$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.8.1

Scomponi $15$ da $120 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15}$

Passaggio 1.4.1.2.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.8.2.1

Scomponi $15$ da $15$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 (1)}$

Passaggio 1.4.1.2.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.2.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{8 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{1}$

Passaggio 1.4.1.2.1.8.2.4

Dividi $8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ per $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.1.9

Riscrivi ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ come $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{15^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.10

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{225}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $4 \sqrt[3]{225}$ e $8 \sqrt[3]{225}$ .

$12 \sqrt[3]{225}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{240}{0}$

Passaggio 1.4.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Passaggio 2

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{15}) \cup (2 \sqrt[3]{15}, \infty)$

Passaggio 2.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 2 \sqrt[3]{15})$ nella derivata prima $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{4}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Dividi $240$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 60$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $60$ .

$f' (- 2) = - 4 - 60$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $60$ da $- 4$ .

$f' (- 2) = - 64$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $- 64$ .

$- 64$

Passaggio 2.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $7$ , dell'intervallo $(2 \sqrt[3]{15}, \infty)$ nella derivata prima $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = 2 (7) - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{49}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $14$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = 14 \cdot \frac{49}{49} - \frac{240}{49}$

Passaggio 2.3.2.3

$14$ e $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49}{49} - \frac{240}{49}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49 - 240}{49}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $14$ per $49$ .

$f' (7) = \frac{686 - 240}{49}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Sottrai $240$ da $686$ .

$f' (7) = \frac{446}{49}$

Passaggio 2.3.2.6

La risposta finale è $\frac{446}{49}$ .

$\frac{446}{49}$

Passaggio 2.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 2 \sqrt[3]{15}$ , allora $x = 2 \sqrt[3]{15}$ è un minimo locale.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ è un minimo locale

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Minimo assoluto: $(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Passaggio 4