Calcolo Esempi

$g (x) = 4 x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 6$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.1.4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.1.4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.1.5.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Passaggio 1.1.1.5.3

Riordina i termini.

$- 4 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

Passaggio 1.1.1.5.4

Riordina i fattori in $- 4 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$ .

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $4 x^{2} e^{- x}$ da $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $4 x^{2} e^{- x}$ da $- 4 x^{3} e^{- x}$ .

$4 x^{2} e^{- x} (- x) + 12 x^{2} e^{- x} = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $4 x^{2} e^{- x}$ da $12 x^{2} e^{- x}$ .

$4 x^{2} e^{- x} (- x) + 4 x^{2} e^{- x} (3) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $4 x^{2} e^{- x}$ da $4 x^{2} e^{- x} (- x) + 4 x^{2} e^{- x} (3)$ .

$4 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 1.2.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 1.2.6

Imposta $- x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $- x + 3$ uguale a $0$ .

$- x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi $- x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 1.2.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $4 x^{3} e^{- x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$4 {(0)}^{3} e^{- (0)}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- (0)}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 e^{- (0)}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 e^{0}$

Passaggio 1.4.1.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$4 {(3)}^{3} e^{- (3)}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 27 e^{- (3)}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Moltiplica $4$ per $27$ .

$108 e^{- (3)}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$108 e^{- 3}$

Passaggio 1.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$108 \frac{1}{e^{3}}$

Passaggio 1.4.2.2.5

$108$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{108}{e^{3}}$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (3, \frac{108}{e^{3}})$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot - 1 e^{- (- 1)}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 e^{- (- 1)}$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 4 e^{1}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica.

$- 4 e$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $6$ a $x$ .

$4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 216 e^{- (6)}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $4$ per $216$ .

$864 e^{- (6)}$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$864 e^{- 6}$

Passaggio 2.2.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$864 \frac{1}{e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.5

$864$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$\frac{864}{e^{6}}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, - 4 e), (6, \frac{864}{e^{6}})$

Passaggio 3

Confronta i valori $g (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(3, \frac{108}{e^{3}})$

Minimo assoluto: $(- 1, - 4 e)$

Passaggio 4