Calcolo Esempi

$h (x) = \sqrt[3]{x}$ , $- 1 \leq x \leq 8$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 1.1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Passaggio 1.1.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 1.1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1.1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $h (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 1.3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Passaggio 1.3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 1.3.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 1.3.3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 1.3.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.3.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.3.3.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $\sqrt[3]{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$0$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\sqrt[3]{- 1}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt[3]{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$- 1$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $8$ a $x$ .

$\sqrt[3]{8}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt[3]{8}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\sqrt[3]{2^{3}}$

Passaggio 2.2.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$2$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, - 1), (8, 2)$

Passaggio 3

Confronta i valori $h (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $h (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $h (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(8, 2)$

Minimo assoluto: $(- 1, - 1)$

Passaggio 4