Calcolo Esempi

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2}

$3 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché

3

$3$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

3 x^{2}

$3 x^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x)$

Passaggio 2.3

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$f'' (x) = 6 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a

$0$ e risolvi.

$3 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$3 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$3 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 x^{2} = 0$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi

$x^{2}$ per

$1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi

$0$ per

$3$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4

Semplifica

$\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi

$0$ come

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.3

Più o meno

$0$ è

$0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per

$x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (0)$

Passaggio 9

Moltiplica

$6$ per

$0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda

$0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi

$(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori

$x$ che rendono la derivata prima

$0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio

$- 2$ , dell'intervallo

$(- \infty, 0)$ nella derivata prima

$3 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4$

Passaggio 10.2.2.2

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$f' (- 2) = 12$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è

$12$ .

$12$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio

$2$ , dell'intervallo

$(0, \infty)$ nella derivata prima

$3 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4$

Passaggio 10.3.2.2

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$f' (2) = 12$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è

$12$ .

$12$

Passaggio 10.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a

$x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per

$f (x) = x^{3}$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11