Calcolo Esempi

$g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ , $s i \cdot 8 \leq x \leq 14$ ?

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 24 x - 109$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 109]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$- 2 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 109]$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $- 109$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 109$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x + 24 + 0$

Passaggio 1.1.1.4.2

Somma $- 2 x + 24$ e $0$ .

$f' (x) = - 2 x + 24$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x + 24$ .

$- 2 x + 24$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x + 24 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x + 24 = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $24$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 24$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 24$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 24$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 24}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 24}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $- 24$ per $- 2$ .

$x = 12$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $- x^{2} + 24 x - 109$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $12$ a $x$ .

$- {(12)}^{2} + 24 (12) - 109$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$- 1 \cdot 144 + 24 (12) - 109$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $144$ .

$- 144 + 24 (12) - 109$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $24$ per $12$ .

$- 144 + 288 - 109$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Somma $- 144$ e $288$ .

$144 - 109$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Sottrai $109$ da $144$ .

$35$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(12, 35)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 3.1

Calcola per $x = 8 s i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $8 s i$ a $x$ .

$- {(8 s i)}^{2} + 24 (8 s i) - 109$

Passaggio 3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $8 s i$ .

$- ({(8 s)}^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Passaggio 3.1.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $8 s$ .

$- (8^{2} s^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Passaggio 3.1.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- (64 s^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- (64 s^{2} \cdot - 1) + 24 (8 s i) - 109$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$- (- 64 s^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Passaggio 3.1.2.5

Moltiplica $- 64$ per $- 1$ .

$64 s^{2} + 24 (8 s i) - 109$

Passaggio 3.1.2.6

Moltiplica $8$ per $24$ .

$64 s^{2} + 192 s i - 109$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 14$ .

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci $14$ a $x$ .

$- {(14)}^{2} + 24 (14) - 109$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Eleva $14$ alla potenza di $2$ .

$- 1 \cdot 196 + 24 (14) - 109$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $196$ .

$- 196 + 24 (14) - 109$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $24$ per $14$ .

$- 196 + 336 - 109$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Somma $- 196$ e $336$ .

$140 - 109$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sottrai $109$ da $140$ .

$31$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(14, 31)$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Confronta i valori $g (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(14, 31)$

Nessun minimo assoluto

Passaggio 6