Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x) - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x} - 1$ .

$\frac{1}{x} - 1$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x} = 1$

Passaggio 1.2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 1.2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, 1$

Passaggio 1.2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $\frac{1}{x} = 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} = 1$ per $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = 1 x$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 = x$

Passaggio 1.2.5

Riscrivi l'equazione come $x = 1$ .

$x = 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $\ln (x) - x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\ln (1) - (1)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.2.1.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0 - (1)$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\ln (0) - (0)$

Passaggio 1.4.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, - 1)$

Passaggio 2

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 2.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 2.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata prima $\frac{1}{x} - 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 2.2.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.2.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.2.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $\frac{1}{x} - 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

Passaggio 2.3.2.4.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 2.3.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

Passaggio 2.3.2.6

La risposta finale è $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Passaggio 2.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 1$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 2.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = \ln (x) - x$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Nessun minimo assoluto

Passaggio 4