Calcolo Esempi

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 8, 3]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - | t - 2 |$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- | t - 2 |$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = | t |$ e $g (t) = t - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t - 2$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

Passaggio 1.1.1.2.2.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Passaggio 1.1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t - 2$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Passaggio 1.1.1.2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.1.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.1.2.7

Moltiplica $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ per $1$ .

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Passaggio 1.1.1.3

Sottrai $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ da $0$ .

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$t - 2 = 0$

Passaggio 1.2.3

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 2$

Passaggio 1.2.4

Escludi le soluzioni che non rendono $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| t - 2 | = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$t - 2 = \pm 0$

Passaggio 1.3.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$t - 2 = 0$

Passaggio 1.3.2.3

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 2$

Passaggio 1.4

Risolvi $2 - | t - 2 |$ per ciascun valore di $t$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $t = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $2$ a $t$ .

$2 - | (2) - 2 |$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$2 - | 0 |$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$2 - 0$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(2, 2)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $t = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 8$ a $t$ .

$2 - | (- 8) - 2 |$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Sottrai $2$ da $- 8$ .

$2 - | - 10 |$

Passaggio 2.1.2.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 10$ e $0$ è $10$ .

$2 - 1 \cdot 10$

Passaggio 2.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$2 - 10$

Passaggio 2.1.2.2

Sottrai $10$ da $2$ .

$- 8$

Passaggio 2.2

Calcola per $t = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $3$ a $t$ .

$2 - | (3) - 2 |$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Sottrai $2$ da $3$ .

$2 - | 1 |$

Passaggio 2.2.2.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 - 1$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$1$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 8, - 8), (3, 1)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (t)$ trovati per ciascun valore di $t$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (t)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (t)$ più basso.

Massimo assoluto: $(2, 2)$

Minimo assoluto: $(- 8, - 8)$

Passaggio 4