Calcolo Esempi

$f (x) = \tan^{-1} (x^{2})$ on $- 2$ , $2$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan^{-1} (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

La derivata di $\tan^{-1} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Passaggio 1.1.1.2.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.1.1.2.3.1

$2$ e $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Passaggio 1.1.1.2.3.2

$\frac{2}{1 + x^{4}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.3.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x = 0$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\tan^{-1} (x^{2})$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\tan^{-1} ({(0)}^{2})$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\tan^{-1} (0)$

Passaggio 1.4.1.2.2

Il valore esatto di $\tan^{-1} (0)$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 2$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$\tan^{-1} ({(- 2)}^{2})$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 2.1.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$\tan^{-1} ({(2)}^{2})$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Passaggio 2.2.2.2

Calcola $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Minimo assoluto: $(0, 0)$

Passaggio 4