Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 3$ e $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4.2

Moltiplica $4 + x$ per $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.7

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Combina i termini opposti in $4 + x - x - - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Somma $4$ e $3$ .

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$7 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $7 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{x - 3}{4 + x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $- 4$ a $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Passaggio 1.4.1.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 4$ a $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Passaggio 2.1.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Passaggio 2.1.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2}{4 + 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{- 2}{5}$

Passaggio 2.2.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{5}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(1, - \frac{2}{5})$

Passaggio 3

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, - \frac{2}{5})$

Nessun minimo assoluto

Passaggio 5