Calcolo Esempi

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{8}$ at the point $(2, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = x^{3} - 4 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 4 x$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4)$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$8 {({(2)}^{3} - 4 \cdot 2)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 {(8 - 4 \cdot 2)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$8 {(8 - 8)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Passaggio 1.4.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$8 \cdot 0^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Passaggio 1.4.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$8 \cdot 0 (3 {(2)}^{2} - 4)$

Passaggio 1.4.2.3

Moltiplica $8$ per $0$ .

$0 (3 {(2)}^{2} - 4)$

Passaggio 1.4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$0 (3 \cdot 4 - 4)$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$0 (12 - 4)$

Passaggio 1.4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.4.1

Sottrai $4$ da $12$ .

$0 \cdot 8$

Passaggio 1.4.4.2

Moltiplica $0$ per $8$ .

$0$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $0$ e un punto dato $(2, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 0 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 0 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $0$ per $x - 2$ .

$y = 0$

Passaggio 3