Calcolo Esempi

$3 y^{2} - \sqrt{x} = 23$ , $(16, 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 16$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 23$

Passaggio 1.2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.3.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.3.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.3.3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.3.9

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.4

Poiché $23$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $23$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 1.6

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.2

Dividi per $6 y$ ciascun termine in $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Dividi per $6 y$ ciascun termine in $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Passaggio 1.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Passaggio 1.6.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Passaggio 1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Passaggio 1.6.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Passaggio 1.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y}$

Passaggio 1.6.2.3.2

Combina.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y)}$

Passaggio 1.6.2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.3.3.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 y}$

Passaggio 1.6.2.3.3.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$y' = \frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$

Passaggio 1.6.2.3.3.3

Riordina i fattori in $\frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8

Calcola con $x = 16$ e $y = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $16$ nell'espressione.

$\frac{1}{12 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci la variabile $y$ con $3$ nell'espressione.

$\frac{1}{12 (3) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.3

Moltiplica $12$ per $3$ .

$\frac{1}{36 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{1}{36 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.8.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.8.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{1}}$

Passaggio 1.8.4.4

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

Passaggio 1.8.5

Moltiplica $36$ per $4$ .

$\frac{1}{144}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{144}$ e un punto dato $(16, 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{144} \cdot (x - (16))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{144} \cdot (x - 16)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{144} x + \frac{1}{144} \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{144}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{144} \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $16$ da $144$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 (9)} \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $16$ da $- 16$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{9} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{1}{9}$ e $- 1$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{- 1}{9}$

Passaggio 2.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 3 = \frac{x}{144} - \frac{1}{9}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 2.3.2.3

$3$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $3$ per $9$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 27}{9}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 1$ e $27$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{26}{9}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{144} x + \frac{26}{9}$

Passaggio 3