Calcolo Esempi

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$ , $(4, - 7)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = - 7$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 5 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.2.1

Combina i termini opposti in $x - 5 - x - 1 \cdot 3$ .

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Passaggio 1.3.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 - 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 5 - 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Sottrai $3$ da $- 5$ .

$\frac{- 8}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$- \frac{8}{{((4) - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $5$ da $4$ .

$- \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{8}{1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi $8$ per $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 8$ e un punto dato $(4, - 7)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 7) = - 8 \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 8 \cdot (x - 4)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 7 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 7 = - 8 x - 8 \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$y + 7 = - 8 x + 32$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 8 x + 32 - 7$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $7$ da $32$ .

$y = - 8 x + 25$

Passaggio 3