Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ ; $(- 1, - \frac{3}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 1$ e $y = - \frac{3}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.4

$- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

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Passaggio 1.2.7.1

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.7.2.4

Dividi $- 3 x$ per $1$ .

$- 3 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 3 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x + 4 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 3 x + 4$ e $0$ .

$- 3 x + 4$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = - 1$ .

$- 3 \cdot - 1 + 4$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$3 + 4$

Passaggio 1.6.2

Somma $3$ e $4$ .

$7$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $7$ e un punto dato $(- 1, - \frac{3}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{3}{2}) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $7 \cdot (x + 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + \frac{3}{2} = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $\frac{3}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 7 x + 7 - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + 7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$7$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2 - 3}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$y = 7 x + \frac{14 - 3}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Sottrai $3$ da $14$ .

$y = 7 x + \frac{11}{2}$

Passaggio 3