Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{4 x + 36}$ ; $x = 0$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 0$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = \sqrt{4 (0) + 36}$

Passaggio 1.2

Semplifica $\sqrt{4 (0) + 36}$ .

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$y = \sqrt{0 + 36}$

Passaggio 1.2.2

Somma $0$ e $36$ .

$y = \sqrt{36}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$y = \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 6$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 6$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 36}]$ come $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$ .

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $4 x + 36$ come $2^{2} (x + 9)$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 36}]$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $4$ da $36$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (9)}]$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $4$ da $4 (x) + 4 (9)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 9)}]$

Passaggio 2.1.1.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 9)}]$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 9}$ come ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 9$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 9$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 9$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.8

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.8.3

Sposta ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Passaggio 2.8.4

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.8.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.8.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 2.11

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$\frac{1}{{((0) + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.14

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.14.1

Somma $0$ e $9$ .

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.14.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.14.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.14.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.14.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.14.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3^{1}}$

Passaggio 2.14.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{3}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{3}$ e un punto dato $(0, 6)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot x$

Passaggio 3.3.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y - 6 = \frac{x}{3}$

Passaggio 3.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{3} + 6$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{3} x + 6$

Passaggio 4