Calcolo Esempi

$y = x^{\cos (x)}$ , $x = 1$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1^{\cos (1)}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ${(1)}^{\cos (1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Calcola $\cos (1)$ .

$y = 1^{0.99984769}$

Passaggio 1.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 1$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $x^{\cos (x)}$ come $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

Passaggio 2.1.2

Espandi $\ln (x^{\cos (x)})$ spostando $\cos (x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.5

$\cos (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 2.7

Semplifica.

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Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 2.7.2

$e^{\cos (x) \ln (x)}$ e $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

Passaggio 2.7.3

Riordina i termini.

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Passaggio 2.8

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- e^{\cos (1) \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9

Semplifica.

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Passaggio 2.9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.9.1.1

Calcola $\cos (1)$ .

$- e^{0.99984769 \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9.1.2

Semplifica $0.99984769 \ln (1)$ spostando $0.99984769$ all'interno del logaritmo.

$- e^{\ln (1^{0.99984769})} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$- 1^{0.99984769} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 \cdot 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9.1.6

Calcola $\sin (1)$ .

$- 1 \cdot 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0.0174524$ .

$- 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9.1.8

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 0.0174524 \cdot 0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9.1.9

Moltiplica $- 0.0174524$ per $0$ .

$0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Passaggio 2.9.1.10

Dividi $e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$ per $1$ .

$0 + e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$

Passaggio 2.9.1.11

Calcola $\cos (1)$ .

$0 + e^{0.99984769 \ln (1)} \cos (1)$

Passaggio 2.9.1.12

Semplifica $0.99984769 \ln (1)$ spostando $0.99984769$ all'interno del logaritmo.

$0 + e^{\ln (1^{0.99984769})} \cos (1)$

Passaggio 2.9.1.13

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$0 + 1^{0.99984769} \cos (1)$

Passaggio 2.9.1.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 1 \cos (1)$

Passaggio 2.9.1.15

Moltiplica $\cos (1)$ per $1$ .

$0 + \cos (1)$

Passaggio 2.9.1.16

Calcola $\cos (1)$ .

$0 + 0.99984769$

Passaggio 2.9.2

Somma $0$ e $0.99984769$ .

$0.99984769$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $0.99984769$ e un punto dato $(1, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0.99984769 \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $0.99984769 \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = 0.99984769 x + 0.99984769 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $0.99984769$ per $- 1$ .

$y - 1 = 0.99984769 x - 0.99984769$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 0.99984769 x - 0.99984769 + 1$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 0.99984769$ e $1$ .

$y = 0.99984769 x + 0.0001523$

Passaggio 4