Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} = 4 x y$ ; $(2, 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (4 x y)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$4 (x y' + y)$

Passaggio 1.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$4 x y' + 4 y$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 4 x y' + 4 y$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $4 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' - 4 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 4 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $3 y^{2} - 4 x$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $3 y^{2} - 4 x$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} - 4 x$ .

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Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 2$ e $y = 2$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$\frac{4 y - 3 {(2)}^{2}}{3 y^{2} - 4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $2$ nell'espressione.

$\frac{4 (2) - 3 {(2)}^{2}}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.3

Elimina il fattore comune di $4 (2) - 3 {(2)}^{2}$ e $3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ .

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Passaggio 1.7.3.1

Riordina i termini.

$\frac{- 3 {(2)}^{2} + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.3.2

Scomponi $2$ da $- 3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.3.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.3.4

Scomponi $2$ da $2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.3.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.7.3.5.1

Scomponi $2$ da $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) - 4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.3.5.2

Scomponi $2$ da $- 4 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)}$

Passaggio 1.7.3.5.3

Scomponi $2$ da $2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

Passaggio 1.7.3.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

Passaggio 1.7.3.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $- 3 \cdot 2 + 4$ e $3 \cdot 2 - 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Scomponi $2$ da $- 3 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 (2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.4.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 3 + 2 (2)$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.4.1

Scomponi $2$ da $3 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 - 2 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.4.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

Passaggio 1.7.4.4.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

Passaggio 1.7.4.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

Passaggio 1.7.4.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 + 2}{3 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.5

Elimina il fattore comune di $- 3 + 2$ e $3 - 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.5.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 (2)}$

Passaggio 1.7.5.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 3) - 1 (2)$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

Passaggio 1.7.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

Passaggio 1.7.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.7.5.6

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.7.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(2, 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 1 \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = - 1 x - 1 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y - 2 = - x - 1 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y - 2 = - x + 2$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x + 2 + 2$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$y = - x + 4$

Passaggio 3