Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at $(3, \frac{1}{27})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = \frac{1}{27}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$- \frac{3}{{(3)}^{4}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $3$ e ${(3)}^{4}$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{4}}$

Passaggio 1.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.5.1.2.1

Scomponi $3$ da ${(3)}^{4}$ .

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3^{3}}$

Passaggio 1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3^{3}}$

Passaggio 1.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{3^{3}}$

Passaggio 1.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{1}{27}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{27}$ e un punto dato $(3, \frac{1}{27})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{1}{27} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} x - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{27}$ nel numeratore.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{27} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 (9)} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5.3

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{9} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{- 1}{9}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- - 1}{9}$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{1}{27}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $\frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

Passaggio 2.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $27$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3 + 1}{27}$

Passaggio 2.3.2.5

Somma $3$ e $1$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{4}{27}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{27} x) + \frac{4}{27}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{27} x + \frac{4}{27}$

Passaggio 3