Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} = 36 x y$ ; $(18, 18)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 18$ e $y = 18$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (36 x y)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x y$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$36 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$36 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$36 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$36 (x y' + y)$

Passaggio 1.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$36 x y' + 36 y$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 36 x y' + 36 y$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai $36 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y' - 36 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $3 y'$ da $- 36 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $3 (y^{2} - 12 x)$ ciascun termine in $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $3 (y^{2} - 12 x)$ ciascun termine in $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $36$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1.1

Scomponi $3$ da $36 y$ .

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Passaggio 1.5.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Passaggio 1.5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 18$ e $y = 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $18$ nell'espressione.

$\frac{12 y - {(18)}^{2}}{y^{2} - 12 \cdot 18}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $18$ nell'espressione.

$\frac{12 (18) - {(18)}^{2}}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Passaggio 1.7.3

Elimina il fattore comune di $12 (18) - {(18)}^{2}$ e ${(18)}^{2} - 12 \cdot 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Riordina i termini.

$\frac{- {(18)}^{2} + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Passaggio 1.7.3.2

Scomponi $18$ da $- {(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Passaggio 1.7.3.3

Scomponi $18$ da $12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Passaggio 1.7.3.4

Scomponi $18$ da $18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Passaggio 1.7.3.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.5.1

Scomponi $18$ da ${(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 - 12 \cdot 18}$

Passaggio 1.7.3.5.2

Scomponi $18$ da $- 12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12}$

Passaggio 1.7.3.5.3

Scomponi $18$ da $18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Passaggio 1.7.3.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Passaggio 1.7.3.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 \cdot 18 + 12}{18 - 12}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $- 1 \cdot 18 + 12$ e $18 - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Scomponi $6$ da $- 1 \cdot 18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 12}{18 - 12}$

Passaggio 1.7.4.2

Scomponi $6$ da $12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)}{18 - 12}$

Passaggio 1.7.4.3

Scomponi $6$ da $6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{18 - 12}$

Passaggio 1.7.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.4.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 (3) - 12}$

Passaggio 1.7.4.4.2

Scomponi $6$ da $- 12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2}$

Passaggio 1.7.4.4.3

Scomponi $6$ da $6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Passaggio 1.7.4.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Passaggio 1.7.4.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3 - 2}$

Passaggio 1.7.5

Elimina il fattore comune di $- 1 \cdot 3 + 2$ e $3 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{- 1 (3) + 2}{3 - 2}$

Passaggio 1.7.5.2

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- 2)}{3 - 2}$

Passaggio 1.7.5.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Passaggio 1.7.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Passaggio 1.7.5.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(18, 18)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (18) = - 1 \cdot (x - (18))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x - 18)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 18 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 18)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 18 = - 1 x - 1 \cdot - 18$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y - 18 = - x - 1 \cdot - 18$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$y - 18 = - x + 18$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $18$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x + 18 + 18$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $18$ e $18$ .

$y = - x + 36$

Passaggio 3