Calcolo Esempi

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = \frac{1}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $1 + e^{x}$ per $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2

Combina i termini opposti in $1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Sottrai $e^{x}$ da $e^{x}$ .

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Riordina i termini.

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Scomponi $- 1$ da $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.6

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.7

Scomponi $- 1$ da $- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.8

Riscrivi $- (e^{x} x - 1)$ come $- 1 (e^{x} x - 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.4.10

Riordina i fattori in $- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.6.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

Passaggio 1.6.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{- 1}{4}$

Passaggio 1.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.6.4

Moltiplica $- - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Passaggio 1.6.4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{4}$ e un punto dato $(0, \frac{1}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

Passaggio 2.3.1.2

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

Passaggio 3