Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$y = \frac{1}{3^{3}}$

Passaggio 1.2.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y = \frac{1}{27}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = \frac{1}{27}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ come ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Passaggio 2.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

$- 6$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Passaggio 2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Passaggio 2.5.3

$x$ e $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.7.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$- \frac{12}{3^{4}}$

Passaggio 2.7.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{12}{81}$

Passaggio 2.7.3

Elimina il fattore comune di $12$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$- \frac{3 (4)}{81}$

Passaggio 2.7.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.2.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Passaggio 2.7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Passaggio 2.7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4}{27}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{4}{27}$ e un punto dato $(2, \frac{1}{27})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.4

$x$ e $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $- \frac{4}{27} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

Passaggio 3.3.1.5.2

$2$ e $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

Passaggio 3.3.1.5.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

Passaggio 3.3.1.6

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $\frac{1}{27}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

Passaggio 3.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $8$ e $1$ .

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

Passaggio 3.3.2.4

Dividi la frazione $\frac{- 4 x + 9}{27}$ in due frazioni.

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Elimina il fattore comune di $9$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

Passaggio 3.3.2.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

Passaggio 4